Die Chancenverteilung graphisch dargestellt: Die Wahrscheinlichkeit, dass der Gewinn hinter unserem Tor steht, liegt bei 1/3. Das bedeutet gleichzeitig: Zu zwei Dritteln befindet er sich hinter einem der beiden anderen Tore. (Grafik: © stw)
Nun wird uns gesagt, hinter welchem sich der Preis nicht befindet. Irgendwo muss er aber sein – daher die Wahrscheinlichkeit 1 für beide Tore. Unsere Anfangschance bleibt natürlich die gleiche, der Rest konzentriert sich auf Tor 2 – doppelte Chance beim Wechsel. (Grafik: © stw)
Anders herum gesagt: Der Wechsel bedeutet nichts anderes als die zuerst gewählte Tür gegen die beiden anderen einzutauschen. Buy one, get two. Durch den Spielablauf wird das nur geschickt verschleiert.
Angenommen, man spielt mit zwei Kandidaten, die zunächst die selbe Tür wählen. Nach dem Öffnen einer Ziegentür bleibt einer stets bei der Erstwahl, der andere wechselt immer zur verbliebenen Tür. Bei 100 Spielen wird jener, der nicht wechselt, ungefähr 33mal gewonnen haben, da die Anfangschance auf den Preis 1/3 beträgt. Die anderen etwa 66 Male gewinnt der Wechsler – doppelt so oft.
Sehr anschaulich ist es auch, die Anzahl der Türen zu erhöhen: Angenommen, man begänne mit 1.000 Türen – dahinter ein Gewinn und 999 Nieten. Der Kandidat sucht sich eine Tür aus, daraufhin öffnet der Moderator 998 Nieten und lässt nur eine weitere Tür unangetastet. Zwei Türen bleiben übrig – also fifty-fifty? Offensichtlich nicht.
Wichtig: Zwei Möglichkeiten bedeuten nicht automatisch eine fifty-fifty-Chance. Sind Sie Autofahrer? Wenn Sie mit Ihrem Wagen unterwegs sind, dann bauen Sie auf Ihrer Fahrt einen Unfall – oder Sie bauen keinen. 50:50? Entscheidend sind immer die Voraussetzungen beziehungsweise deren Einzelwahrscheinlichkeiten, die zu einer bestimmten Situation oder einem Ergebnis führen ...
... beim Münzwurf sind sie für beide Möglichkeiten (Wappen oder Zahl) identisch: 50:50. Beim Autofahren (Unfall oder kein Unfall) sind sie es nicht: Nicht 50:50. Beim Ziegenproblem sind die (Wahrscheinlichkeits-)Wege zu Tor 1 oder 2 ebenfalls nicht identisch: Also ebenfalls nicht 50:50. Sondern etwa 33:66 – siehe Artikel. (Anschaulich machen kann man all dies mit dem so genannten Entscheidungsbaum. Ruhig mal nachschlagen.)
Und wer's gar nicht glaubt – der spielt die Sache einfach daheim nach. Zutaten: Zwei Personen und drei Karten. Zwei schwarze, eine rote. Eine Person ist der Moderator, die andere versucht, als Kandidat die rote Karte zu erwischen. Die ersten zehn Durchgänge bleibt er stur bei der Erstwahl – danach wechselt er immer nach dem Umdrehen einer schwarzen Karte. Bei welcher Variante ist die Erfolgsquote besser?
